Aproximacion por minimos cuadrados

 Fundamento teórico

El método de mínimos cuadrados es una técnica estadística y matemática para encontrar la curva (o recta) que mejor se ajusta a un conjunto de puntos de datos $(x_i, y_i)$, minimizando la suma de los cuadrados de los errores entre los valores observados y los valores predichos por el modelo.

Para una regresión lineal (ajuste por recta):

$$y = a + bx$$

El objetivo es encontrar los coeficientes $a$ y $b$ que minimicen:

$$S = \sum_{i=1}^{n} (y_i - a - bx_i)^2$$

Esto se resuelve derivando respecto a $a$ y $b$, y resolviendo el sistema resultante:

$$\begin{cases} n a + b \sum x_i = \sum y_i \\ a \sum x_i + b \sum x_i^2 = \sum x_i y_i \end{cases}$$

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Pasos del algoritmo

1. Obtener los datos $(x_i, y_i)$.

2. Calcular:

   • $\sum x_i$

   • $\sum y_i$

   • $\sum x_i^2$

   • $\sum x_i y_i$

3. Sustituir en el sistema de ecuaciones lineales.

4. Resolver el sistema para obtener $a$ y $b$.

5. Construir la recta $y = a + bx$.

6. (Opcional) Evaluar el modelo o graficarlo.

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Ejemplo resuelto paso a paso

Supón que tenemos los datos:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Paso 1: Calcular sumatorias

$$\sum x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$
$$\sum y = 2 + 3 + 5 + 4 + 6 = 20$$
$$\sum x^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55$$
$$\sum xy = 1×2 + 2×3 + 3×5 + 4×4 + 5×6 = 2 + 6 + 15 + 16 + 30 = 69$$

Paso 2: Sistema de ecuaciones

$$5a + 15b = 20 \\ 15a + 55b = 69$$

Resolviendo:

Multiplicamos la primera ecuación por 3:

$$15a + 45b = 60 \\ 15a + 55b = 69$$

Restamos:

$$(15a + 55b) - (15a + 45b) = 69 - 60 \Rightarrow 10b = 9 \Rightarrow b = 0.9$$

Sustituimos en la primera:

$$5a + 15(0.9) = 20 \Rightarrow 5a = 20 - 13.5 = 6.5 \Rightarrow a = 1.3$$

Resultado:
La recta de mejor ajuste es:

$$y = 1.3 + 0.9x$$

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 Código del método (Python)

def minimos_cuadrados(x, y):
    n = len(x)
    sum_x = sum(x)
    sum_y = sum(y)
    sum_x2 = sum([xi**2 for xi in x])
    sum_xy = sum([x[i]*y[i] for i in range(n)])

    b = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / (n * sum_x2 - sum_x**2)
    a = (sum_y - b * sum_x) / n
    return a, b

# Ejemplo
x_vals = [1, 2, 3, 4, 5]
y_vals = [2, 3, 5, 4, 6]

a, b = minimos_cuadrados(x_vals, y_vals)
print(f"Recta ajustada: y = {a:.2f} + {b:.2f}x")

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Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El método de mínimos cuadrados es fundamental para la regresión lineal y es ampliamente utilizado en múltiples disciplinas:

Aplicaciones reales:

• Ciencia de datos y machine learning.

• Finanzas (predicción de precios).

• Física e ingeniería (análisis experimental).

• Economía (modelado de tendencias).

• Medicina (ajuste de curvas de crecimiento, dosificación).

Ventajas:

• Simple y efectivo para modelos lineales.

• Permite modelar datos ruidosos.

• Ampliable a polinomios, exponenciales, etc.

Limitaciones:

• Supone una relación funcional entre variables.

• Sensible a valores atípicos.

• Lineal solo si se aplica con modelos lineales.