Método de la Secante

 Fundamento teórico

El Método de la Secante es un algoritmo numérico utilizado para encontrar raíces de funciones reales continuas. Es una variante del método de Newton-Raphson que no requiere calcular derivadas.

En lugar de usar la derivada, el método aproxima la derivada mediante la pendiente de una recta secante que pasa por dos aproximaciones previas:

$$x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$$

Esta fórmula sustituye la derivada $f'(x)$ por un cociente de diferencias finitas, haciendo que el método sea útil cuando calcular la derivada es difícil o imposible.

Pasos del algoritmo

1. Seleccionar dos aproximaciones iniciales $x_0$ y $x_1$.

2. Calcular una nueva aproximación con:

   $$x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$$

3. Evaluar el error: $|x_{n+1} - x_n|$.

4. Si el error es menor a una tolerancia dada $\epsilon$, o si se alcanza el número máximo de iteraciones, detener.

5. Si no, repetir el proceso utilizando $x_{n}$ y $x_{n+1}$ como nuevos valores.

4. Ejemplo resuelto paso a paso

Función:

$$f(x) = x^3 - x - 2$$

Aproximaciones iniciales:

• $x_0 = 1$

• $x_1 = 2$

La raíz se aproxima a $\boxed{1.5210}$

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Código del método (en Python)

def f(x):

    return x**3 - x - 2

def secante(x0, x1, tol=1e-6, max_iter=100):

    for i in range(max_iter):

        f_x0 = f(x0)

        f_x1 = f(x1)

        if f_x1 - f_x0 == 0:

            print("División por cero. Método falla.")

            return None

        x2 = x1 - f_x1 * (x1 - x0) / (f_x1 - f_x0)

        if abs(x2 - x1) < tol:

            return x2

        x0, x1 = x1, x2

    return x2

raiz = secante(1, 2)

print("Raíz aproximada:", raiz)

Resultado

Raíz aproximada: 1.5213797068045645

Gráfica ilustrativa (Python)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return x**3 - x - 2

x_vals = np.linspace(0, 3, 400)
y_vals = f(x_vals)

plt.plot(x_vals, y_vals, label='f(x) = x³ - x - 2', color='blue')
plt.axhline(0, color='black', linestyle='--')
plt.axvline(raiz, color='red', linestyle='--', label=f'Raíz ≈ {raiz:.4f}')
plt.title("Método de la Secante")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Resultado

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El Método de la Secante es una excelente alternativa cuando se desea una convergencia rápida sin necesidad de derivadas. Su eficiencia lo convierte en un método preferido en problemas de:

• Ingeniería estructural y civil (cálculo de tensiones y deformaciones).

• Economía y finanzas (cálculo de tasas de retorno o punto de equilibrio).

• Física computacional (resolución de ecuaciones no lineales).

• Optimización y simulación de procesos industriales.

Ventajas:

• No necesita derivadas.

• Convergencia más rápida que la bisección y regla falsa en muchos casos.

Desventajas:

• Puede fallar si las aproximaciones iniciales no están bien elegidas.

• No garantiza convergencia si $f(x_n) \approx f(x_{n-1})$.