Metodo de la inversa

La inversa de una matriz $A$ es otra matriz $A^{-1}$tal que:

$$A \cdot A^{-1} = I$$

donde $I$ es la matriz identidad del mismo orden. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. La fórmula general para calcular la inversa de una matriz $A$ es:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\cdot \text{adj}(A)$$

Donde:

• $\det(A)$ es el determinante de $A$

• $\text{adj}(A)$ es la adjunta de la matriz $A$, que se obtiene trasponer la matriz de cofactores de $A$.

Pasos del algoritmo

1. Verifica que la matriz sea cuadrada.

2. Calcula el determinante de la matriz.

3. Si el determinante es 0, la matriz no tiene inversa.

4. Calcula la matriz de cofactores.

5. Transpón la matriz de cofactores para obtener la adjunta.

6. Multiplica la adjunta por $\frac{1}{\det(A)}$ para obtener la inversa.

Ejemplo resuelto paso a paso

Matriz:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

1. Determinante:

$$\det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10$$

2. Matriz de cofactores:

$$\text{Cof}(A) = \begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}$$

3. Transpuesta (adjunta):

$$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

4. Inversa:

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \cdot \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$

Código de Python

Gráfico en Excel:

No da un gráfico conciso

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El cálculo de la matriz inversa es fundamental en múltiples áreas como:

• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

• Procesamiento de imágenes.

• Análisis de redes eléctricas.

• Ingeniería de control.

• Criptografía (como parte del cifrado de Hill).