Método de Euler

 Fundamento teórico

El método de Euler es una técnica de integración numérica para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias del tipo:

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$$

La idea es avanzar paso a paso desde el valor inicial $(x_0, y_0)$, calculando la pendiente $f(x, y)$ y proyectando la solución en pequeños incrementos $h$:

$$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$$

Es un método explícito, de primer orden, sencillo de implementar pero con precisión limitada y propenso a errores acumulativos si no se usa un paso $h$ suficientemente pequeño.

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Pasos del algoritmo

1. Definir la EDO en la forma $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$

2. Establecer los valores iniciales: $x_0$, $y_0$

3. Elegir el tamaño de paso $h$

4. Calcular los valores sucesivos de $y$ con:

   $$y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)$$

5. Repetir hasta alcanzar el valor final deseado de $x$

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Ejemplo resuelto paso a paso

Resolver:

$$\frac{dy}{dx} = x + y, \quad y(0) = 1, \quad \text{en } x \in [0, 0.3] \text{ con } h = 0.1$$

Paso 1: Inicializar

• $x_0 = 0$

• $y_0 = 1$

• $h = 0.1$

Paso 2: Iteraciones

Código del método (Python)

def f(x, y):
    return x + y

def euler(x0, y0, h, xn):
    x = x0
    y = y0
    print(f"x = {x:.2f}, y = {y:.4f}")
    while x < xn:
        y += h * f(x, y)
        x += h
        print(f"x = {x:.2f}, y = {y:.4f}")
    return y

# Ejemplo
euler(x0=0, y0=1, h=0.1, xn=0.3)

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Gráficas

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x, y):
    return x + y

def euler_values(x0, y0, h, xn):
    xs = [x0]
    ys = [y0]
    x = x0
    y = y0
    while x < xn:
        y += h * f(x, y)
        x += h
        xs.append(x)
        ys.append(y)
    return xs, ys

x_vals, y_vals = euler_values(0, 1, 0.1, 0.3)
plt.plot(x_vals, y_vals, marker='o', label="Euler")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Aproximación con Método de Euler")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

Resultados

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Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El método de Euler es ideal como introducción conceptual a los métodos de integración de ecuaciones diferenciales por su simplicidad. Sin embargo, es menos preciso que métodos más avanzados como Runge-Kutta.

Aplicaciones prácticas:

• Modelado de crecimiento poblacional

• Reacciones químicas simples

• Predicción de trayectorias básicas en física

• Procesos económicos o financieros discretizados

Ventajas:

• Simple de entender y programar

• Útil en tiempo real con restricciones computacionales

Desventajas:

• Poco preciso si el paso $h$ no es muy pequeño

• Inestable para ciertas ecuaciones (errores acumulativos)