Reglas de Integración Numérica (Trapezoidal y Simpson 1/3 y 3/8)

 Fundamento teórico

La integración numérica se utiliza para aproximar el valor de una integral definida cuando no es posible calcularla analíticamente. Estas reglas estiman el área bajo la curva $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$, utilizando funciones polinómicas que aproximan $f(x)$.

a) Regla del Trapecio
Aproxima el área bajo la curva mediante un trapecio.

$$\int_a^b f(x)\, dx \approx \frac{b - a}{2} [f(a) + f(b)]$$

b) Regla de Simpson 1/3
Aproxima el área usando una parábola. Requiere que el número de subintervalos $n$ sea par.

$$\int_a^b f(x)\, dx \approx \frac{h}{3} \left[f(x_0) + 4 \sum_{i\text{ impar}} f(x_i) + 2 \sum_{i\text{ par}} f(x_i) + f(x_n)\right]$$

c) Regla de Simpson 3/8
Usa polinomios de grado 3 y se aplica cuando $n$ es múltiplo de 3.

$$\int_a^b f(x)\, dx \approx \frac{3h}{8} \left[f(x_0) + 3 \sum f(x_i)_{\text{no múltiplos de 3}} + 2 \sum f(x_i)_{\text{múltiplos de 3}} + f(x_n)\right]$$

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Pasos del algoritmo

Paso común:

1. Dividir el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos de ancho $h = \frac{b - a}{n}$.

2. Calcular los puntos $x_i = a + i \cdot h$.

3. Evaluar la función en cada punto.

4. Aplicar la fórmula correspondiente según la regla.

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Ejemplo resuelto paso a paso

Aproximar:

$$\int_0^1 e^x dx \approx ?$$

a) Regla del Trapecio

$$f(x) = e^x, \quad a = 0, \quad b = 1$$
$$\text{Aproximación} = \frac{1 - 0}{2} [f(0) + f(1)] = \frac{1}{2} [1 + e] \approx \frac{1}{2}(1 + 2.718) \approx 1.859$$

b) Simpson 1/3 con $n = 2$

$$h = \frac{1 - 0}{2} = 0.5,\quad x_0 = 0,\quad x_1 = 0.5,\quad x_2 = 1$$
$$\text{Aproximación} = \frac{0.5}{3} [f(0) + 4f(0.5) + f(1)] = \frac{1}{6} [1 + 4 \cdot 1.6487 + 2.718] \approx 1.7189$$

c) Simpson 3/8 con $n = 3$

$$h = \frac{1 - 0}{3} = \frac{1}{3},\quad x_0 = 0,\quad x_1 = 1/3,\quad x_2 = 2/3,\quad x_3 = 1$$
$$\text{Aproximación} = \frac{3h}{8} [f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)]$$
$$\approx \frac{1}{8} [1 + 3 \cdot 1.3956 + 3 \cdot 1.9487 + 2.718] \approx 1.7183$$

Valor exacto: $\int_0^1 e^x dx = e - 1 \approx 1.7183$

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Código en Python

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(x)

def trapecio(a, b):
    return (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2

def simpson13(a, b, n=2):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    fx = f(x)
    return h/3 * (fx[0] + 4*fx[1] + fx[2])

def simpson38(a, b):
    h = (b - a) / 3
    x0, x1, x2, x3 = a, a + h, a + 2*h, b
    return (3*h/8) * (f(x0) + 3*f(x1) + 3*f(x2) + f(x3))

# Valores
a, b = 0, 1
print("Trapecio:", trapecio(a, b))
print("Simpson 1/3:", simpson13(a, b))
print("Simpson 3/8:", simpson38(a, b))

Resultados

Trapecio: 1.8591409142295225
Simpson 1/3: 1.7188611518765928
Simpson 3/8: 1.7185401533601676

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Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

Las reglas de integración numérica son herramientas fundamentales cuando las integrales no pueden resolverse de forma analítica, como sucede con funciones complicadas o con datos experimentales.

Aplicaciones prácticas:

• Ingeniería (cálculo de áreas, volúmenes, trabajo, energía).

• Economía (análisis de ingresos/costos acumulados).

• Física (dinámica, trayectorias).

• Ciencias computacionales (modelado y simulación).

Ventajas:

• Sencillas de implementar.

• Buen nivel de precisión con pocos subintervalos.

• Aplicables a funciones tabuladas.

Desventajas:

• Pérdida de precisión si la función es muy irregular.

• La Regla de Simpson 1/3 requiere un número par de subintervalos.

• Simpson 3/8 requiere múltiplos de 3.