Regla de cramer

 La regla de Cramer es un método algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes. Solo es aplicable cuando el sistema:

• Tiene igual número de ecuaciones e incógnitas.

• El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero (es decir, la matriz es invertible).

Para un sistema lineal representado por la matriz:

$$AX=B$$

Donde:

• $A$ es la matriz de coeficientes.

• $X$ es el vector de incógnitas.

• $B$ es el vector de constantes.

La solución para cada incógnita $x_i$ se obtiene con:

$$x_i=\frac{\det (A_i)}{\det (A)}$$

Donde $A_i$ es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-ésima columna de $A$ por el vector $B$.

Pasos del algoritmo

1. Escribe el sistema de ecuaciones en forma matricial $AX = B$

2. Calcula $\det(A)$, el determinante de la matriz de coeficientes.

3. Si $\det(A) = 0$, el sistema no tiene solución única.

4. Para cada incógnita $x_i$, reemplaza la i-ésima columna de $A$ por el vector $B$ y calcula $\det(A_i)$.

5. Aplica la fórmula $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$.

Ejemplo resuelto paso a paso

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 7 \end{cases}$$

1. Matriz de coeficientes:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$$

2. Determinante de $A$:

$$\det(A) = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5$$

3. Para $x$, reemplaza primera columna por $B$:

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}, \quad \det(A_x) = (5)(3) - (1)(7) = 15 - 7 = 8$$

4. Para $y$, reemplaza segunda columna por $B$:

Ay=[2517],det⁡(Ay)=(2)(7)−(5)(1)=14−5=9

5. Soluciones:

$$x = \frac{8}{5} = 1.6, \quad y = \frac{9}{5} = 1.8$$

Código de Python

Grafico

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

La regla de Cramer se utiliza principalmente en:

• Solución manual de sistemas pequeños.

• Problemas de ingeniería (circuitos eléctricos, estructuras).

• Modelos matemáticos de física y economía cuando el número de ecuaciones es reducido.
  Aunque no es eficiente para sistemas grandes, es una herramienta excelente para entender el papel de los determinantes en la solución de sistemas lineales.