Interpolación de Lagrange

 Fundamento teórico

La interpolación de Lagrange es un método que permite construir un polinomio único de grado $n$ que pasa por $n+1$ puntos distintos $(x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$. No requiere resolver sistemas de ecuaciones ni construir tablas, lo que lo hace directo aunque computacionalmente costoso para muchos puntos.

El polinomio de interpolación de Lagrange se define como:

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x)$$

donde $L_i(x)$ son los polinomios base de Lagrange, definidos como:

$$L_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\mathrm{\ne }i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_{\mathrm{j<span\; class="vlist"><span\; class="mord"><span\; class="mord"><span\; class="msupsub"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist-s"></span></span><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist"></span></span></span></span></span></span></span><span\; class="vlist-s"></span>}}}$$

Cada $L_i(x)$ es un polinomio que vale 1 en $x_i$ y 0 en los demás $x_j$.

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Pasos del algoritmo

1. Obtener los pares de datos $(x_i, y_i)$.

2. Construir los polinomios base $L_i(x)$.

3. Calcular $P(x) = \sum y_i \cdot L_i(x)$.

4. Simplificar el resultado si es necesario.

5. Evaluar el polinomio para cualquier valor $x$ deseado.

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Ejemplo resuelto paso a paso

Dado:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & f(x) \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ \hline \end{array}$$

Paso 1: Calcular los polinomios $L_i(x)$

$$L_0(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} = \frac{(x-2)(x-3)}{2}$$ $$L_1(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = - (x-1)(x-3)$$
$$L_2(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}$$

Paso 2: Construir el polinomio $P(x)$

$$P(x) = 1 \cdot L_0(x) + 4 \cdot L_1(x) + 9 \cdot L_2(x)$$
$$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{2} - 4(x-1)(x-3) + \frac{9(x-1)(x-2)}{2}$$

Simplificando el polinomio, se obtiene:

$$P(x) = x^2$$

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Código del método (Python)

def lagrange_interpol(x_vals, y_vals, x):
    total = 0
    n = len(x_vals)
    for i in range(n):
        xi, yi = x_vals[i], y_vals[i]
        term = yi
        for j in range(n):
            if i != j:
                xj = x_vals[j]
                term *= (x - xj) / (xi - xj)
        total += term
    return total

# Ejemplo
x_points = [1, 2, 3]
y_points = [1, 4, 9]

x_eval = 2.5
print(f"P({x_eval}) = {lagrange_interpol(x_points, y_points, x_eval)}")

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Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

La interpolación de Lagrange es una técnica poderosa y sencilla de implementar cuando:

• Se tienen pocos puntos conocidos.

• No se requiere recalcular todo al evaluar nuevos valores.

• Los puntos no están equidistantes.

Aplicaciones comunes:

• Gráficas por computadora.

• Ajuste de datos experimentales.

• Modelado en ingeniería y ciencias aplicadas.

Ventajas:

• No requiere resolver sistemas de ecuaciones.

• Funciona con puntos no equidistantes.

Desventajas:

• Poco eficiente para un número grande de puntos.

• Requiere recalcular todos los términos si se agrega un nuevo punto.

• Puede ser numéricamente inestable para puntos cercanos.