Metodo de Jacobi

 El método de Jacobi es un algoritmo iterativo usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo:

$$Ax=b$$

Este método se basa en despejar cada variable de una ecuación, suponiendo valores iniciales para las demás, y luego actualizar cada variable con esos valores. Se repite el proceso hasta que la solución converge, es decir, hasta que las variables dejan de cambiar significativamente entre iteraciones.

Es especialmente útil para sistemas grandes y dispersos, y puede aplicarse en paralelo ya que el cálculo de cada incógnita en una iteración no depende del valor actualizado de las otras.

El método requiere que la matriz $A$ sea diagonalmente dominante o simétrica definida positiva para asegurar la convergencia.

Pasos del algoritmo

1. Dado el sistema $Ax = b$, se despeja cada variable $x_i$ de su ecuación correspondiente.

2. Se elige un vector inicial $x^{(0)}$ (por lo general, el vector cero o uno).

3. Se realiza una iteración para obtener una nueva aproximación de las incógnitas:

   $$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)} \right)$$

4. Se repite hasta que:

   $$\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \text{tolerancia}$$
   

   o hasta alcanzar un número máximo de iteraciones.

Ejemplo resuelto paso a paso

Sistema:

$$\begin{cases} 10x + 2y + z = 9 \\ 2x + 20y - 2z = -44 \\ -2x + 3y + 10z = 22 \end{cases}$$

Despejes:

$$x = \frac{1}{10}(9 - 2y - z)$$
$$y = \frac{1}{20}(-44 - 2x + 2z)$$
$$z = \frac{1}{10}(22 + 2x - 3y)$$

Supongamos $x^{(0)} = y^{(0)} = z^{(0)} = 0$

Primera iteración:

$$x^{(1)} = \frac{1}{10}(9 - 0 - 0) = 0.9$$
$$y^{(1)} = \frac{1}{20}(-44 - 0 + 0) = -2.2$$
$$z^{(1)} = \frac{1}{10}(22 + 0 - 0) = 2.2$$

Segunda iteración:

$$x^{(2)} = \frac{1}{10}(9 - 2(-2.2) - 2.2) = \frac{1}{10}(9 + 4.4 - 2.2) = \frac{11.2}{10} = 1.12$$
$$y^{(2)} = \frac{1}{20}(-44 - 2(0.9) + 2(2.2)) = \frac{1}{20}(-44 - 1.8 + 4.4) = -2.07$$
$$z^{(2)} = \frac{1}{10}(22 + 2(0.9) - 3(-2.2)) = \frac{1}{10}(22 + 1.8 + 6.6) = 3.06$$Código de Python

Grafica 

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El método de Jacobi es ampliamente utilizado en simulaciones numéricas como:

• Mecánica estructural (método de elementos finitos).

• Fluidos computacionales.

• Procesamiento de imágenes y señales.

• Resolución de sistemas dispersos en supercomputadoras, ya que su naturaleza paralela lo hace ideal para computación distribuida.

Es un método flexible, fácil de programar y entender, aunque puede requerir muchas iteraciones si la convergencia es lenta.