Método Serie de Taylor

 Fundamento teórico

La Serie de Taylor es una herramienta matemática utilizada para aproximar funciones analíticas mediante un polinomio. Se basa en derivadas sucesivas de una función en torno a un punto $a$, y permite representar funciones suaves como una suma infinita de términos polinómicos.

Fórmula general:

$$$$

Donde:

Pasos del algoritmo

Ejemplo resuelto paso a paso

Paso 1: Elegimos la función

Paso 2: Derivadas sucesivas

Paso 3: Evaluamos en $a = 0$

Paso 4: Construimos el polinomio

$Código\; del\; método\; en\; Python$

import math

def taylor_exponential(x, n):

    resultado = 0

    for i in range(n):

        resultado += (x**i) / math.factorial(i)

    return resultado

# Ejemplo: Aproximar e^1 con 4 términos

aproximacion = taylor_exponential(1, 4)

real = math.exp(1)

print(f"Aproximación: {aproximacion}")

print(f"Valor real: {real}")

print(f"Error: {abs(real - aproximacion)}")

Resultados

Gráfica de comparación (Taylor vs función real)

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

x = np.linspace(-2, 2, 400)

y_real = np.exp(x)

# Taylor con 4 términos

def taylor_exp(x, n):

    return sum([(x**i) / math.factorial(i) for i in range(n)])

y_taylor = [taylor_exp(val, 4) for val in x]

plt.plot(x, y_real, label="e^x (real)", color='blue')

plt.plot(x, y_taylor, label="Taylor (4 términos)", linestyle='--', color='red')

plt.legend()

plt.title("Aproximación de e^x con Serie de Taylor")

plt.xlabel("x")

plt.ylabel("f(x)")

plt.grid(True)

plt.show()

Resultados

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

La Serie de Taylor es fundamental en matemáticas aplicadas, física, ingeniería y ciencias computacionales. Sus aplicaciones incluyen:

• Simulación y modelado: permite aproximar funciones complejas con polinomios más simples.

• Análisis numérico: útil para calcular funciones trascendentales (como seno, coseno, exponencial) en calculadoras y computadoras.

• Física teórica: se usa para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales y series de perturbación.

• Inteligencia artificial y machine learning: ayuda a analizar el comportamiento local de funciones de error y optimización.

En resumen, es una herramienta poderosa para aproximar funciones no polinómicas, facilitando su análisis y cálculo en una gran variedad de campos científicos y tecnológicos.