Metodo de la motante

El método de Montante es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante una variante del método de eliminación de Gauss, pero sin introducir fracciones durante los cálculos. Esto lo hace especialmente útil en cálculo manual o simbólico, ya que preserva números enteros durante todo el proceso, utilizando determinantes parciales.

Se basa en operaciones matriciales en las que se va transformando la matriz aumentada del sistema hasta obtener la matriz identidad en el lado de los coeficientes, y la solución del sistema en el lado de los términos independientes.

Este método es determinístico y exacto, y puede aplicarse también para encontrar la inversa de una matriz.

Pasos del algoritmo

1. Se construye la matriz aumentada del sistema.

2. Se trabaja fila por fila con una fórmula basada en determinantes, reemplazando cada elemento $a_{ij}$por:

   $$a_{ij}^{(k+1)} = \frac{a_{kk}^{(k)} \cdot a_{ij}^{(k)} - a_{ik}^{(k)} \cdot a_{kj}^{(k)}}{d}$$

   Donde:

   • $a_{kk}$ es el pivote actual.

   • $d$ es el pivote anterior (en la primera iteración se toma d=1).

3. En cada paso, la fila activa se convierte en una forma reducida.

4. El proceso continúa hasta convertir la matriz de coeficientes en la matriz identidad.

5. Las soluciones aparecen en la última columna de la matriz transformada.

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Ejemplo resuelto paso a paso

Sistema:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 4x+9y=\mathrm{20<span></span>}\end{array}$$

Matriz aumentada inicial:

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 & | 8 \\ 4 & 9 & | 20 \end{bmatrix}$$

1. Primer pivote: $d$, pivote actual $a_{11}=2$

Aplicamos la fórmula para actualizar los elementos de la fila 2:

$$a_{22}^{(2)} = \frac{2 \cdot 9 - 3 \cdot 4}{1} = 18 - 12 = 6$$
$$a_{23}^{(2)} = \frac{2 \cdot 20 - 8 \cdot 4}{1} = 40 - 32 = 8$$

Nueva matriz:

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 & | 8 \\ 0 & 6 & | 8 \end{bmatrix}$$

2. Segundo pivote: $d$, pivote actual $a_{22}=\; 6$

Normalizamos la segunda fila dividiendo entre 6:

$$\text{Fila 2: } \frac{1}{6}[0, 6, 8] \Rightarrow [0, 1, \frac{4}{3}]$$

Retroceso para encontrar $x$:

$$2x+3(\frac{4}{3})=8\Rightarrow 2x+4=8\Rightarrow x=2$$

Entonces:

$$x = 2, \quad y = \frac{4}{3}$$

​Código en Python

Grafico

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El método de Montante es útil para resolver sistemas lineales sin recurrir a fracciones intermedias, lo cual reduce errores en cálculo manual o simbólico. Tiene aplicaciones en:

• Álgebra computacional.

• Cálculo de matrices inversas.

• Sistemas exactos de ecuaciones (como los que se presentan en criptografía o álgebra abstracta).

• Automatización de procesos en software que requiere precisión algebraica sin aproximaciones decimales.