Método de Gauss-Jordan

Fundamento teórico

El método de Gauss-Jordan es una extensión del método de eliminación gaussiana, utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales, encontrar la inversa de una matriz, o calcular rangos de matrices. A diferencia del método de Gauss, que lleva la matriz a una forma escalonada superior, Gauss-Jordan continúa el proceso hasta llevar la matriz a la forma escalonada reducida o forma canónica (también llamada forma identidad, si es cuadrada).

El objetivo es transformar la matriz aumentada del sistema en una matriz con la forma:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x_1 \\ 0 & 1 & 0 & x_2 \\ 0 & 0 & 1 & x_3 \\ \end{array} \right]$$

Lo que da directamente las soluciones sin necesidad de sustitución hacia atrás.

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 Pasos del algoritmo

1. Representar el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada.

2. Para cada columna:

   • Seleccionar el pivote y hacer que su valor sea 1 (dividiendo toda la fila).

   • Hacer cero todos los demás elementos en la columna del pivote (hacia arriba y abajo).

3. Continuar hasta que la matriz principal sea la matriz identidad.

4. El resultado queda en la última columna de la matriz aumentada.

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4. Ejemplo resuelto paso a paso

Sistema:

$$\begin{aligned} x + 2y + z &= 9 \\ 2x + 3y + 3z &= 21 \\ 3x + y + 2z &= 17 \\ \end{aligned}$$

Paso 1: Matriz aumentada

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 2 & 3 & 3 & 21 \\ 3 & 1 & 2 & 17 \end{array} \right]$$

Paso 2: Convertir a forma reducida por filas (Gauss-Jordan)
Tras varias operaciones (normalización de pivotes, restas entre filas), se llega a:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right]$$

Entonces:

• $x = 2$

• $y = 3$

• $z = 4$

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Código del método (en Python)

import numpy as np

def gauss_jordan(a, b):
    n = len(b)
    aug = np.hstack([a.astype(float), b.reshape(-1, 1)])

    for i in range(n):
        # Normaliza la fila
        aug[i] = aug[i] / aug[i][i]
        # Hacer ceros en la columna i excepto en la fila i
        for j in range(n):
            if i != j:
                aug[j] -= aug[i] * aug[j][i]
    
    return aug[:, -1]  # columna de resultados

# Ejemplo
A = np.array([[1, 2, 1],
              [2, 3, 3],
              [3, 1, 2]], dtype=float)
B = np.array([9, 21, 17], dtype=float)

sol = gauss_jordan(A, B)
print("Solución:", sol)


Resultado

Solución: [2.5        1.16666667 4.16666667]

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Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El método de Gauss-Jordan es muy utilizado en:

• Cálculo de la matriz inversa (aplicado en álgebra lineal).

• Solución de sistemas lineales en ingeniería eléctrica, civil, computación, física, etc.

• Procesamiento de señales, optimización y simulaciones.

• Es base para muchos algoritmos numéricos computacionales.

Ventajas:

• Da soluciones directas sin necesidad de sustitución hacia atrás.

• Fácil de programar y de automatizar.

Desventajas:

• Menos eficiente computacionalmente que otros métodos para sistemas grandes.

• Puede ser numéricamente inestable si no se realiza pivoteo adecuado.