Splines

 Fundamento teórico

Los splines son funciones por tramos que se utilizan para interpolar un conjunto de puntos de forma suave y continua. En particular, los splines cúbicos usan polinomios de tercer grado en cada subintervalo $[x_i, x_{i+1}]$, con la condición de que la función, su primera derivada y su segunda derivada sean continuas en todos los puntos del dominio.

Un spline cúbico entre cada par de puntos $x_i$ y $x_{i+1}$ se expresa como:

$$S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3$$

Estos coeficientes se calculan de forma que:

• $S_i(x_i) = y_i$

• $S_i(x_{i+1}) = y_{i+1}$

• Las derivadas primera y segunda son continuas en cada punto intermedio.

• En los extremos se pueden aplicar condiciones naturales ($S''(x_0) = S''(x_n) = 0$) o clamped (valores conocidos de la derivada).

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Pasos del algoritmo

1. Obtener los puntos $(x_i, y_i)$.

2. Calcular $h_i = x_{i+1} - x_i$ para cada intervalo.

3. Armar y resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los coeficientes $c_i$ (segundas derivadas).

4. Calcular los coeficientes $b_i$ y $d_i$ a partir de los $c_i$.

5. Construir los polinomios $S_i(x)$ para cada intervalo.

6. Evaluar el spline para cualquier valor $x$ deseado.

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Ejemplo resuelto paso a paso

Dado:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Usaremos splines cúbicos naturales ($S''(x_0) = S''(x_2) = 0$).

• $h_0 = 1$, $h_1 = 1$

• Sistema a resolver:

$$\begin{cases} h_0 c_0 + 2(h_0 + h_1) c_1 + h_1 c_2 = 3\left(\frac{y_2 - y_1}{h_1} - \frac{y_1 - y_0}{h_0}\right) \\ \text{Con } c_0 = 0, c_2 = 0 \end{cases} \Rightarrow 2(1+1)c_1 = 3( \frac{0-2}{1} - \frac{2-1}{1}) = 3(-2 - 1) = -9 \Rightarrow 4c_1 = -9 \Rightarrow c_1 = -2.25$$

Luego se calculan:

$$b_0 = \frac{y_1 - y_0}{h_0} - \frac{h_0(2c_0 + c_1)}{3} = 1 - \frac{1(0 + (-2.25))}{3} = 1 + 0.75 = 1.75$$
$$d_0 = \frac{c_1 - c_0}{3h_0} = \frac{-2.25}{3} = -0.75$$

Entonces, el primer tramo es:

$$S_0(x) = 1 + 1.75(x - 0) + 0(x - 0)^2 - 0.75(x - 0)^3$$

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Código del método (Python)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import CubicSpline

# Datos
x = np.array([0, 1, 2])
y = np.array([1, 2, 0])

# Spline cúbico natural
cs = CubicSpline(x, y, bc_type='natural')

# Evaluación
x_new = np.linspace(0, 2, 100)
y_new = cs(x_new)

# Gráfica
plt.plot(x, y, 'ro', label='Puntos')
plt.plot(x_new, y_new, label='Spline Cúbico')
plt.title("Interpolación por Splines Cúbicos")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Resultado

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Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

La interpolación por splines cúbicos es una herramienta esencial en computación científica, ingeniería y diseño gráfico. A diferencia de otros métodos como la interpolación de Lagrange, los splines evitan oscilaciones indeseadas y permiten una interpolación suave incluso con muchos puntos.

Aplicaciones:

• Diseño asistido por computadora (CAD).

• Animación y gráficos por computadora.

• Procesamiento de señales y audio.

• Geometría computacional y modelado 3D.

• Análisis de datos experimentales.

Ventajas:

• Alta precisión local.

• Suavidad garantizada.

• Evita oscilaciones de polinomios de alto grado.

Desventajas:

• Cálculo más complejo.

• Necesita resolver sistemas de ecuaciones.