Método de Newton-Raphson

 Fundamento teórico

El Método de Newton-Raphson es uno de los algoritmos más utilizados para encontrar raíces de funciones reales continuas y derivables. Se basa en aproximar la función por una recta tangente en un punto inicial $x_0$ y usar el punto donde esta tangente corta al eje $x$ como una mejor aproximación de la raíz.

La fórmula de iteración es:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Este método converge rápidamente si la función es suave y la estimación inicial $x_0$ está suficientemente cerca de la raíz.

Pasos del algoritmo

1. Elegir una función $f(x)$ y calcular su derivada $f'(x)$.

2. Seleccionar una aproximación inicial $x_0$.

3. Calcular una nueva aproximación con:

   $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

4. Repetir hasta que el error $|x_{n+1} - x_n|$ sea menor que una tolerancia deseada $\epsilon$, o hasta alcanzar un número máximo de iteraciones.

Ejemplo resuelto paso a paso

Función:

$$f(x) = x^3 - x - 2 \quad \text{con derivada} \quad f'(x) = 3x^2 - 1$$

Aproximación inicial:
$x_0 = 1.5$

La raíz aproximada es $\boxed{1.5221}$ con muy poco error.

 Código del método (en Python)

def f(x):

    return x**3 - x - 2

def df(x):

    return 3*x**2 - 1

def newton_raphson(x0, tol=1e-6, max_iter=100):

    for i in range(max_iter):

        fx = f(x0)

        dfx = df(x0)

        if dfx == 0:

            print("Derivada cero. Método falla.")

            return None

        x1 = x0 - fx / dfx

        if abs(x1 - x0) < tol:

            return x1

        x0 = x1

    return x0

raiz = newton_raphson(1.5)

print("Raíz aproximada:", raiz)

Resultados

Raíz aproximada: 1.5213797068045751

Gráfica ilustrativa (Python)

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):

    return x**3 - x - 2

x = np.linspace(0, 3, 400)

y = f(x)

plt.plot(x, y, label='f(x) = x³ - x - 2', color='blue')

plt.axhline(0, color='black', linestyle='--')

plt.axvline(raiz, color='red', linestyle='--', label=f'Raíz ≈ {raiz:.4f}')

plt.title("Método de Newton-Raphson")

plt.xlabel("x")

plt.ylabel("f(x)")

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

Resultado

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El Método de Newton-Raphson es uno de los métodos más potentes y rápidos para encontrar raíces, siempre que se cumplan ciertas condiciones:

• La función debe ser derivable.

• La derivada no debe ser cero en los puntos evaluados.

• El valor inicial debe estar lo suficientemente cerca de la raíz.

Ventajas:

• Muy rápido (convergencia cuadrática).

• Útil en problemas científicos e ingenieriles donde se requiere alta precisión.

Desventajas:

• Requiere calcular derivadas.

• Puede diverger si la función tiene mal comportamiento o se elige mal el valor inicial.

Aplicaciones reales:

• Solución de ecuaciones no lineales en física, química e ingeniería.

• Métodos de optimización.

• Ajuste de curvas, aprendizaje automático, diseño de estructuras, análisis de flujos.