Interpolacion

  La interpolación es una técnica que permite construir una función que pase exactamente por un conjunto de puntos dados. En el caso de interpolación polinómica, se busca un polinomio 

$P(x)$ tal que:

$$P(x_i) = y_i \quad \text{para } i = 1, 2, ..., n$$

Una forma de encontrar este polinomio es suponiendo que tiene la forma:

$$P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{n-1}x^{n-1}$$

Sustituyendo los puntos dados $(x_i, y_i)$ en la expresión del polinomio se obtiene un sistema de ecuaciones lineales que se puede escribir en forma matricial como:

$$A \cdot x = b$$

donde:

• $A$ es una matriz construida con las potencias de los $x_i$,

• $x$ es el vector de coeficientes $[a_0, a_1, \dots, a_{n-1}]^T$,

• $b$ es el vector de los valores $y_i$.

Pasos del algoritmo

1. Tomar los puntos $(x_i, y_i)$ dados.

2. Plantear el polinomio interpolante general de grado $n-1$.

3. Sustituir cada par $(x_i, y_i)$ en el polinomio y generar el sistema lineal.

4. Resolver el sistema $Ax = b$ usando cualquier método (inversa, eliminación, etc.).

5. Reemplazar los coeficientes en el polinomio para obtener la función interpolante final.

Ejemplo resuelto paso a paso

Dado el conjunto de puntos:

$$(1, 4), \quad (2, 7), \quad (3, 12)$$

Supongamos un polinomio de grado 2:

$$P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$$

Planteamos el sistema sustituyendo cada punto:

$$\begin{aligned} a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 &= 4 \\ a_0 + a_1(2) + a_2(4) &= 7 \\ a_0 + a_1(3) + a_2(9) &= 12 \end{aligned}$$

Forma matricial $Ax = b$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ 12 \end{bmatrix}$$

Resolvemos este sistema y obtenemos:

$$a_0 = 1, \quad a_1 = 1, \quad a_2 = 1$$

Polinomio final:

$$P(x) = 1 + x + x^2$$

Código Python

Grafica

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real
Este método se usa para modelar fenómenos a partir de datos medidos en puntos discretos: economía, ingeniería, física, química, y ciencia de datos. Es útil cuando se necesita conocer el comportamiento de una función entre puntos conocidos o para realizar ajustes polinomiales simples.