Método de la Regla falsa

 Fundamento teórico

El Método de la Regla Falsa es un algoritmo numérico para encontrar raíces reales de funciones continuas. Se basa, al igual que el método de bisección, en el Teorema del Valor Intermedio: si una función continua cambia de signo en un intervalo $[a, b]$, entonces hay al menos una raíz dentro del intervalo.

A diferencia de la bisección, que toma el punto medio, la regla falsa intersecta la recta secante entre los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$, y toma como nuevo punto de prueba la abscisa de la intersección con el eje $x$, lo cual suele dar una mejor aproximación inicial.

Fórmula del punto de intersección (nueva aproximación):

$$x = b - \frac{f(b)(a - b)}{f(a) - f(b)}$$

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 Pasos del algoritmo

1. Elegir un intervalo $[a, b]$ tal que $f(a) \cdot f(b) < 0$.

2. Calcular la nueva aproximación $x$ usando la fórmula de la regla falsa.

3. Evaluar $f(x)$.

4. Si $f(x) = 0$ o el error es menor a la tolerancia $\epsilon$, detener.

5. Si $f(a) \cdot f(x) < 0$, la raíz está entre $[a, x]$; actualizar $b = x$.

6. Si $f(x) \cdot f(b) < 0$, actualizar $a = x$.

7. Repetir los pasos 2–6 hasta cumplir el criterio de parada.

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Ejemplo resuelto paso a paso

Encontrar una raíz de:

$$f(x) = x^3 - x - 2 \quad \text{en el intervalo} \quad [1, 2]$$

Paso 1:

• $f(1) = -2$, $f(2) = 4$ → hay cambio de signo

Paso 2: Iteraciones

La raíz se aproxima a $x \approx 1.521$, con error menor a 0.001.

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Código del método (en Python)

def f(x):

    return x**3 - x - 2

def regla_falsa(a, b, tol, max_iter=100):

    if f(a) * f(b) >= 0:

        print("No se cumple la condición de cambio de signo.")

        return None

    for i in range(max_iter):

        x = b - f(b) * (a - b) / (f(a) - f(b))

        if abs(f(x)) < tol:

            return x

        if f(a) * f(x) < 0:

            b = x

        else:

            a = x

    return x

raiz = regla_falsa(1, 2, 0.001)

print("Raíz aproximada:", raiz)

Resultados

Raíz aproximada: 1.5212577491262855

Gráfica ilustrativa (Python)

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):

    return x**3 - x - 2

x_vals = np.linspace(0, 3, 400)

y_vals = f(x_vals)

plt.plot(x_vals, y_vals, label='f(x) = x³ - x - 2', color='blue')

plt.axhline(0, color='black', linestyle='--')

plt.axvline(raiz, color='red', linestyle='--', label=f'Raíz ≈ {raiz:.3f}')

plt.title("Método de la Regla Falsa")

plt.xlabel("x")

plt.ylabel("f(x)")

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

Resultados

Conclusión sobre su uso y aplicación en la vida real

El método de la regla falsa es muy útil cuando se desea encontrar raíces reales de funciones continuas con mayor rapidez que la bisección, sin requerir derivadas como en Newton-Raphson. Aunque su convergencia no siempre es tan uniforme como la de la bisección, suele alcanzar buenas aproximaciones más rápido, especialmente cuando la función se comporta casi lineal en el intervalo dado.

Aplicaciones reales incluyen:

• Diseño de circuitos (resolver ecuaciones de corriente/tensión)

• Optimización de procesos industriales

• Modelado financiero (encontrar tasas o puntos de quiebre)

• Ingeniería estructural y de fluidos

Se usa principalmente cuando se necesita una aproximación rápida, con poca información previa, y sin derivadas.